¿Detención imposible?

Supongamos que dejamos caer una pelota ideal sobre una superficie lisa y comprobamos que en el primer bote tarda 1 segundo, en el segundo ½, en el tercero ¼ y así sucesivamente. Con otras palabras: en cada bote tarda la mitad que en el anterior.

Si te atreves, responde a estas preguntas:

¿Dará infinitos botes?
¿Se parará alguna vez?
¿Cuánto tiempo tardará en pararse?




La respuestas a las aneriores peguntas son: Sí, dará infinitos botes y se parará exactamente en 2 segundos.
Lo más difícil de entender es que los infinitos intervalos de tiempo que tardarán los infinitos botes sumen un tiempo finito y tan corto como 2 segundos. ¿es posible demostrarlo sin recurrir a las matemáticas?

Intentémoslo:

Trazamos un segmento que representa a los 2 segundos que tardará en pararse y lo dividimos por la mitad. A la izquierda sumaremos los tiempos de los botes considerados.
La marca en el punto medio representa el primer bote de un segundo. Para añadir el segundo bote tendremos que sumar ½ segundo pero medio segundo es justo la mitad de lo que queda entre la marca del primer segundo y la marca de los 2 segundos. Para añadir el tiempo del tercer bote (¼) también se verifica que es la mitad de lo que resta.
Por lo tanto, para calcular la suma de tiempos, sólo hay que hacer marcas que dividen por dos el tiempo que queda hasta llegar a 2 segundos. Por muchas marcas que hagamos, nunca llegaremos a la marca de los 2 segundos, aunque nos aproximaremos cada vez más. Por lo tanto, podemos afirmar que dará infinitos botes, pero los infinitos tiempos sumados nunca superarán los 2 segundos de tiempo, que es el doble de lo que dura el primer bote.

Este es un claro ejemplo de que la suma de infinitos términos, puede ser un número finito, aunque para ello, los terminos que se suman deben ser "infinitesimos" es decir, infinitamente pequeños.